miércoles, 20 de octubre de 2010

Rotación

Para otros usos de este término, véase Rotación de cultivos y Rotación estelar.
Rotación de la Tierra.
Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un sólido extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante del eje de rotación.
Una rotación pura de un cuerpo queda representada mediante el vector velocidad angular, que es un vector de carácter deslizante, \boldsymbol\omega\, situado sobre el eje de rotación.

Rotación en sólidos rígidos

La velocidad angular de rotación está relacionada con el momento angular. Para producir una variación en el momento angular es necesario actuar sobre el sistema con fuerzas que ejerzan un momento de fuerza. La relación entre el momento de las fuerzas que actúan sobre el sólido y la aceleración angular se conoce como momento de inercia (I) y representa la inercia o resistencia del sólido a alterar su movimiento de rotación.
Para analizar el comportamiento cinemático de un sólido rígido debemos partir de la idea de que un ángulo θ define la posición instantánea de cualquier partícula contenida en el sólido rígido (CR); este ángulo se mide desde un plano perpendicular al eje de rotación del CR.
Si la posición queda completamente definida por la coordenada angular θ, entonces la velocidad del CR se podrá expresar como:
\mathbf v=\frac{d\mathbf r}{dt}=\mathbf 
\omega\times \mathbf r
Mientras que la aceleración quedaría definida por:
\mathbf a=\mathbf \alpha \times \mathbf r + 
\mathbf \omega \times (\mathbf \omega \times \mathbf r)
La energía cinética de rotación se escribe:
E_c=\frac{1}{2} \,\,\mathbf \omega \cdot 
\mathbb{I} \cdot \mathbf \omega
siendo \mathbb{I} la matriz de inercia.
La expresión del teorema del trabajo en movimientos de rotación se puede expresar así:
\Delta 
E_c=\mathbf{M}\cdot\Delta\boldsymbol{\theta}
de modo que, la variación de la energía cinética del sólido rígido es igual al producto escalar del momento de las fuerzas por el vector representativo del ángulo girado (Δθ).

[editar] Transformaciones de rotación

Cambio de base o rotación de un vector.
En matemáticas las rotaciones son transformaciones lineales que conservan las normas en espacios vectoriales en los que se ha definido una operación de producto interior. La matriz de transformación tiene la propiedad de ser una matriz unitaria, es decir, es ortogonal y su determinante es 1.
Sea un vector A en el plano cartesiano definido por sus componentes x e y, descrito vectorialmente a través de sus componentes:
\mathbf A=\begin{bmatrix} A_x \\ A_y 
\end{bmatrix}
La operación de rotación del punto señalado por este vector alrededor de un eje de giro puede siempre escribirse como la acción de un operador lineal (representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector:
\mathbb R \, \mathbf A = \mathbf A'
En dos dimensiones la matriz de rotación para el vector dado puede escribirse de la manera siguiente:
\mathbb R = \begin{bmatrix} \cos \theta & 
\sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix}
Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos un nuevo vector A' que ha sido rotado en un ángulo θ en sentido antihorario:
\begin{bmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\
 -\sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix} A_x \\ A_y \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} A'_x \\ A'_y \end{bmatrix}
siendo
A'_x = A_x \cos\theta + A_y\sin\theta\,
A'_y = -A_x \sin\theta + A_y\cos\theta\,
las componentes del nuevo vector después de la rotación.

No hay comentarios:

Publicar un comentario en la entrada